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09年06月23日（火）
もう一つのリーマン問題 |
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★数学カフェ 朝日 2009.06.23
『リーマン破綻』
の記事が一面を飾った時に 数学者の黒川信重教授が驚いたとあった。
教授の指すリーマンは「リーマン・ブラザーズ」のリーマンでなく数学の未解決難問の
「リーマン予想（素数の分布の規則性にかかわる予想。）」
のことであった。 遠い昔聞いたことがあった。
さらに、この記事には
・フェルマー予測が９５年に
・ポアンカレ予測が０６年に
決着した今、最も解決が待たれている問題と記述している。
◆リーマン予想
ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンのゼータ関数の零点の分布に関する予想である。
リーマンの提出から今年で１５０年になる。
数学上の未解決問題のひとつであり、クレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとして
リーマン予想の解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払うことを約束している。
≪ミレニアム懸賞問題の一覧≫
1900年にパリで行われた国際数学者会議で、ヒルベルトは23の問題を提起した。
これによって大きな反響が生まれ、その後の数学の発展に大きな影響を与えました。
それから100年が経った2000年の5月24日、同じパリで開かれたクレイ数学研究所の年会で
この「ミレニアム懸賞問題」７題が発表されました。
発表されたのは、
①P≠NP予想 ・・・（P versus NP）
②ホッジ予想 ・・・（The Hodge Conjecture）
③ポアンカレ予想 ・・・ （The Poincaré Conjecture）※グリゴリー・ペレルマンにより解決済
④リーマン予想 ・・・ （The Riemann Hypothesis）
⑤ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題 ・・・（Yang-Mills Existence and Mass Gap）
⑥ナヴィエストークス方程式の解の存在問題 ・・・（Navier-Stokes Existence and Smoothness）
⑦バーチ＆スウィンナートン・ダイアー予想 ・・・（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）
◆フェルマー予測：フェルマーの最終定理
「x^n ＋y^n ＝z^n でn≧3のとき、x，y，zは正の整数解をもたない。」
（n＝2の時は直角三角形で「3平方（ピタゴラス）の定理」が成り立つ）
数学史上、最も人々を魅了した式です。
人々が魅了された最大の理由は「解けそうで解けない」ところだろう。
簡単に見えるから熱くなってしまう。
フェルマーの没年は1665年。1994年にアンドリュー・ワイルズによって証明されるまで、
300年以上かかっている。
なお、証明されなければ「定理」とは呼べない。
だから本来、証明されるまでは「予想」とか「予測」などと呼ぶものらしい。
◆ポアンカレ予想 1904年
「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である」という予想
直感的な言い方だと
(1)「どんな掛け方をされた輪ゴムも無理なくはずせるような、手の上に乗る1つの物体は、
滑らかに球に変形できるはずである」ってことらしい。
つまり、ドーナツみたいに真ん中に穴が開いてて、どうしたって球には変形しないような物体は、
輪ゴムのかけ方によっては、ハサミかなんかで輪ゴムのどこかを切断しないと外せなくなっちゃいますよ、ってこと。
(2)『穴もねじれもない任意の物体は球面に変形できる』かどうか
たとえば、取っ手がひとつのマグカップと、粘土で作った円形のドーナツは、トポロジーでは「同じ仲間」になります。
もしもマグカップが柔らかい粘土でできていたら、上手くすればドーナツ型に変形できますよね？
両方とも、穴が真ん中にひとつ開いているからです。
同様に、どこにもひびが入っていないお茶わんと粘土で作ったボールは、同じ仲間になる、というわけです。
お茶わんの形を丸めていけば、球になります。両方とも穴がありません。
じゃあ、穴がなくて、どこにもねじれがない物体はすべて「球」になるのか？
これが、ポアンカレが考え出して百年間誰も答えることのできなかった問題（本人も答えを出していないので「予想」）なのですが。
・・・ (1)と(2)では説明の仕方がこうも異なるのか。
やはり難問は一般人には理解しにくい。
アメリカの科学誌「サイエンス」に、2006年の科学的成果トップ10が発表され、
その第1位に数学上の難問だった「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。
このポアンカレ予想を解いたのが、グリゴリー・ペレルマンというロシアの数学者。
1966年生まれ。1982年に国際数学オリンピックにおいて全問満点で金メダルを獲得。
サンクトペテルブルク大学で博士号を取得。
ニューヨーク州立大学ストニーブルック校、カリフォルニア大学バークレー校で研究をしたのち、
ロシアに帰国、ステクロフ数学研究所に所属。
その間、ポアンカレ予想の証明だけじゃなくて、さまざまな数学的業績を上げる。
2005年12月に退職届を提出し、それ以降同研究所に現れていない。
この人がポアンカレ予想の解決を宣言したのは2003年のこと。
査読つきの論文誌に投稿したとかじゃなくて、プレプリント（要は、正式な論文じゃないリポートみたいもの？）を
さっさと発表して、本人はそれっきり。
2006年になってようやく他の人たちによる検証によって「どうやら正しいらしい」とされたことで、
数学の権威ある賞であるフィールズ賞が、ペレルマンに授与されたものの、
本人は「自分の証明が正しければ賞は必要ない」とこれを辞退。
このポアンカレ予想は、「ミレニアム懸賞問題（Millennium Problems）」の1つとして
100万ドルの賞金がかけられていた。
★パソコンに向かって「ヒニチ」と打ち込み変換すると
「日日」と出てくる。
なんか釈然としない気持ちとなる。
他に重なる語はあるのだろうか。
・日日（ひにち）
・何時何時（いつなんどき）
・道道（どうどう）←北海道管理の道
・貴方方（あなたがた）
・御御足（おみあし）
・御御御付（おみおつけ）
・今日日（きょうび）・・・私は「きょうび」って言葉を遣ったことがない。桂三枝さんがよく言っていたのを思い出す。
関西の方は普通に使うのだろうか。
・五点五点（5.5点）
・一寸一寸（いっすんちょっと） ・・・「ちょっとちょっと」と読んでしまいそうだ。
・網代代（あじろだい）
・営業業（えいぎょうわざ）
・出来出来る（しゅったいできる）
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